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【已解决】5min解奥赛压轴题,泥潭华语第()数学论坛!

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更新:07-12     编辑:     来源:    


  •   所以我也过来问一道题,希望有大神知道怎么做:

      


    网友评论:
    First we note that for a = b = 1 indeed (a^2+b^2)/(1+ab) = 1 is a
    perfect square. In other cases a and b can"t be equal, so that we can
    assume that a > b. Second we note that (a^2+b^2)/(1+ab) must be
    positive.

    Then, when 1+ab is a divisor of a^2+b^2, there must be a positive
    integer N satisfying

       a^2 + b^2
       ---------  =  N
        1 + ab

    with a > b - except when a = b = 1, a case we have seen above (a can"t
    be equal to b except when a = b = 1). So we have

      a^2 - (Nb)a + (b^2 - N)  = 0.

    This means that the quadratic equation

      x^2 - (Nb)x + (b^2 - N) = 0

    has solution x = a. The sum of the two solutions is Nb, so that the
    second solution is x = Nb-a.

    This brings us a second integer pair a" = (Nb-a), b" = b that
    satisfies

       (a")^2 + (b")^2
       ---------------  =  N.
           1 + a"b"

    We show that a" < b" by writing the original equation in the form
    Nb - a = (b^2 - N)/a, so that we have a" = (b^2 - N)/a. Now we derive

      b(b-a) < 0 < N
      b^2 - ab < N
      b^2 - N < ab
      (b^2 - N)/a < b
      a" < b = b"

    Repeating this process, we have a strictly decreasing sequence of
    integers given by

    s(0) = a,
    s(1) = b,
    s(k) = Ns(k-1) - s(k-2)    (this generalizes a" = Nb-a)

    satisfying

    s(k)^2 + s(k-1)^2
    ----------------- = N.
      1 + s(k)s(k-1)

    The key is to show that this sequence must pass through 0, because if
    s(j) = 0 for some integer j, then

       s(j-1)^2 + s(j)^2
       ----------------- = s(j-1)^2 = N
         1 + s(j)s(j-1)

    and thus indeed N is a perfect square.

    To prove the sequence passes through zero, suppose the sequence
    doesn"t. It follows that, since the sequence is strictly decreasing,
    it must contain two x = s(n) and y = s(n+1) with opposite signs. Thus
    (x^2 + y^2)/(1 + xy) must be either infinite (if xy = -1) or negative
    (if xy < -1). But that contradicts N being a positive integer.

    That completes the proof.
    楼上喷了
    二楼秒了


      -

    可以说是华语第()了
    热烈祝贺由百度贴吧化升级为百度作业帮化
    华语第NaN数学论坛

    ----发送自 Sony F5122,Android 7.1.1


    但是这段一个汉字都没有啊(

    另外大大你是从哪里得的答案,能不能告诉我一下


    把式子扔进google里




    http://mathforum.org/library/drmath/view/51620.html




    稍等一下,会有中文答案出现的

    http://www.mathpages.com/home/kmath334.htm
    这还有完全体...
    就看懂用数归法证,没看懂构造。果然没学过数学。

    收到
    拓展阅读:
    http://www.youtube.com/watch?v=Y30VF3cSIYQ
    http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping


      k = a2 + b2ab + 1。我们假设在满足题目的条件下,存在一个或更多不是完全平方数的解k。对特定k,使(A, B)为其对应解中A + B最小的,不失一般性可假设AB。用变数x取代A,重整方程式可得x2 – (kB)x + (B2 – k) = 0,其中一根为x1 = A。利用韦达定理,可将另一根表示成x2 = kBA或是x2 = B2 – kA。从x2的第一个表示式可得x2为整数,第二个表示式可得x2 ≠ 0因为k不是完全平方数。进一步的,我们从x22 + B2x2B + 1 = k > 0可得x2为正数。最后,从 AB可推出x2 = B2 − kA < A,所以x2 + B < A + B,与A + B为最小矛盾。
      来源 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... 4%E8%B7%B3%E8%BA%8D
    ∑( ̄□ ̄;)我用纸写了下发现无从着手
    秒了!
    6分钟终结。。。那么问题来了,泥潭是华语第几数学论坛?
    这是常庚哲.史济怀编的数学分析教程第一章第一节的问题,出处是1988年的IMO试题。

    大一?还是高中生?
    Trivia:泥潭最喜欢轮的数学家,特仑苏.陶先生,当年IMO唯独这道题没做出来,在采访里耿耿于怀,大家霍胖的都散场吧
    大家可以看看那个你管视频,陶哲轩当年都没解出来,

    http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=1581
    第二题也没对啊。陶教授75年的,你这 trivia 应该加上当年13岁参加的 IMO。


    第七行应是 (a-b)^2,不是 (a+b)^2
    这题但凡学过竞赛的都知道吧很老很老很老的IMO题了。。。费马递降可秒


    看错了编辑掉

    无限递降……是反证法证明√2是无理数用的那种么?我事实上还没弄明白这道题啊

    果然有问题。我再想想。
    给二楼递茶,瑟瑟发抖





    对,一个思路。先假设否命题(比如这题中你说那不是平方数),然后给你某个自然数 x,满足你题目中的某个性质(x 是一个二次方程的解);接着你说你能找到一个比 x 还小的自然数 y 同样满足这个性质(y 是那个二次方程的另一个解,但比 x 小);同样的过程按理可以无限进行下去。但是自然数不能是负的,所以矛盾,命题为真。或者你可以用我楼上的论述方法(19楼已经贴过),道理差不多的。

    嗯,我感觉出点门道,看看明天把它做出来吧。

    谢了!今天额度用光了,明天给你加鹅——

    如果题目出现开根号,开3次根,google关键词是啥? sqrt?

    得金牌那年

    嗯,已经做出来了,谢了。

    cbrt啊

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