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也来求助一道中学数学题

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更新:07-27     编辑:     来源:    
  • 看来泥潭一些人最近对数学很有兴趣,如
    thread-1649609-1-1.html
    thread-1648666-1-1.html

    第一贴的lz似乎想学习前沿的数学,但是发言过于喜感,只是为了学习新的概念、知道一些名词对培养真正的数学能力并无太多用处。知道 perfectoid geometry/ minimal model program/ schauder estimates / soul theorem / infinite category / mirror symmetry/ Ito lemma 这些概念固然有趣,但自行解决(也许是中小学数学)问题也能带来许多成就感(大概是体会到了人类的智慧?),编程也是类似的道理。所以中小学问题并没有什么低级的,它们也是数学 。作为数学爱好者(而非工作者),只要能感受到乐趣就是好的,一味追求时髦反而失了境界。当然沉迷做题而不知背后的更深刻的道理也不好,比如上次某人问的平面几何问题被人用复平面或者说向量方法立刻解决,省去了不少琐碎论证。


    废话少说,求助一道中学数学题:

    考虑平面上有限多个点,每个点的横坐标、纵坐标都是整数并且横纵坐标互素,证明:能找到一个整系数二元齐次多项式不恒等于1,但是在这些点的取值是1。



    (两个整数互素是说它们不能同时被一个素数整除,比如4和9互素,1和2互素,但4和6不互素;二元齐次多项式就是有两个变量x,y的多项式并且每一项的次数都一样,比如x是一次多项式,xy,x^2+y^2是二次多项式,但x+y+xy这种既有一次又有二次的多项式不是齐次的)

    例:取两个点(1,2), (2,3),那么齐次多项式y-x在这两点取值都是1。比如取三个点(2,1),(3,1),(5,2),那么齐次多项式(x^2+y^2-3xy)^2在这三点取值为1……

    希望有人能解决并从中获得乐趣


    网友评论:



    对于互素x, y存在ax+by=1,所以(ax+by)(a"x"+b"y")(a""x""+b""y"")....=1 思路错了
    其实没错
    对于互素x, y存在ax+by-1=0
    所以(ax+by-1)(a"x+b"y-1)…+1=0
    这个也错了
    齐次搞得这个问题很蛋疼,如果写成连乘形式,那么连乘项的每一个都需要是1,所以答案一定是a+b形式
    而如果构造a+b形式的话必然不能涉及0,因为这样另外一项需要是1
    但是在不用0的情况下把任意一对素数限制在一定范围内都是一件不那么trivial的事

    其实从答案逆推的话
    结果显然是a1x^n+a2x^(n-1)y…=1的形式
    那么假设有k对互素数,在n>k的情况下,放到上面公式里会得到k个n+1元1次方程,之后答案就随便搞了

    不过要是这么做的话这题就真有点无聊了

    整系数是个问题,构造需要考虑,但是对于求解不是限制,因为这种方法理论上覆盖全部解空间,所以对于任一输入,只要从k开始枚举n,就可以保证在有限步数内得到答案。这样问题就从求解变成了证明有解,工程上可以接受了,理论上太难看。

    — from samsung SM-G955U, Android 8.0.0 of Next 就Goose v1.3.3.2-play

    你这个xy不想等,最终是2n元多项式…否则只有一项为1其他都不是…

      -

    二楼说的是类似数学归纳法 这个多项式必定能表示成连乘的方式也就是说只要证明最初的一项就可以通过连乘的方法构造齐次的二项式



    错了 编辑掉

    挺有趣的,有种棺材题的感觉
    暂时没什么想法,等高手出现



    嗯,想当然了

    — from samsung SM-G955U, Android 8.0.0 of Next Goose v1.3.3.2-play

    这个构造的问题还是乘起来几乎必然不为1,因为分项为0,1或其他,不可能都是1。我一开始也想这么构造。发现不靠谱。

      -

    呃,回复完发现你改了

      -


    你这也不是齐次啊。。。




    确实不对,也想当然了 orz



    感觉不应该是连乘,例子里的(x^2+y^2-3xy)^2 就分解不成连乘的形式

    对每个点x,y互素,故可以用x/y投影到实射影直线(去掉无穷远点)的互不相同的点上,再用lagrange插值多项式得到每个点上取值y^-n的多项式,乘以y^n得到x与y的齐次多项式

    (x,y)与(-x,-y)的像可能重合,但只要取n为偶数即可



    看题目的背景楼主似乎并不像是单纯来求助的

    涉及互素齐次不是中学水平了吧



    等等用拉格朗日插值之后为啥还是整系数多项式最后为啥能乘yn??意思理解了,感觉整系数不好搞。

      -

    保证多项式系数是整数有点难想 或者说给你5个这样的点如何快速找出这个多项式我也没思路


    明显不是来求助啊
    但我还是觉得这题蛮有趣,继续等一下高手

    没看到整系数的条件。。不过这样能得出有理系数的齐次方程,去掉分母可能需要一些数论的技巧我还没有想出来

    妈的傻逼黑球.
    我写了半天没了.



    令齐次方程 F(x,y) = 连乘 {i = 1 to n-1} (yi*x - xi*y), 则 F(xi,yi) = 0
    如果 k 次齐次方程 G(xi,yi) = 1,那么 (G^m + C1*F + C2*F^2 + ... Cl*F^l)(x, y) = 1 也成立,其中 mk > n,Cl 是 s = mk-nl 次齐次方程

    现在考虑下一个点 (xn,yn),且 a*xn+b*yn=1,不妨设 Cl = hl*(ax+by)^s,G(xn,yn) = A,F(xn,yn) = B,则只需求 A^m + h1B+ h2B^2 + h3B^3 + ... = 1 的解即可



    搞错了,不过那个等式不一定成立啊,因为数的B进制分解不完备,你缺少了h0项。。
    比如(A,B)=2

    例子:

    (2,1) -> G = x - y, F = x - 2y
    + (3,1) -> A = 2, B = 1, 即求 2^2 + h2  = 1, h2 = -3,即新多项式 G" = (x-y)^2 - 3(x-2y)^2, F" = (x-2y)(x-3y)
    + (5,2) -> A = 6, B = -1, 即求 6 - h1 = 1, h1 = 5,即新多项式 G"" = (x-y)^2 - 3(x-2y)^2 + 5(x-2y)(x-3y),F"" = (x-2y)(x-3y)(2x-5y)

    以此类推

    注意到答案不唯一,我这里得到的仅为2次多项式,比楼主给的4次多项式简单



    记错了,编辑掉


    A和B不互素的时候最后一个方程无整数解


    试证明A和B必互素,或寻找一个反例


    最后一个方程一定要有h1,h2...那么多未知数吗 调整A和B的次数可以使最后一个方程只解一个h吗


    如果A B互质,令m=phi(B), h1=(1-A^m)/B就好了

    我想到的就是n+1维矩阵求解的问题。证明什么的不会,回去用python跑一下



    有了

    有一组数对(ai,bi)
    一对数a1,b1互素,所以存在p1,q1使得p1*x+q1*y在(x,y)=(a1,b1)时为1
    于是对一组数对,可做齐次多项式
    (p1*x+q1*y)(b2*x-a2*y)……(bn*x-an*y)
    这个多项式在第一个数对处为1,其余处为0

    可做n个这样的齐次多项式,它们次数都相同。于是把它们全加起来就满足要求了
    ————————————
    啊,错了,上面构造的多项式,在第一个数处不为1

    ————————————
    觉得自己的方向是对的。(p1*x+q1*y)在第一个点等于1没错。(b2*x-a2*y)……(bn*x-an*y)在其余的点等于0,也没错。现在的问题是两者乘起来在第一个点不等于1

    所以我觉得要找到一个多项式,形如
    (p1*x+q1*y)f((b2*x-a2*y),……,(bn*x-an*y))
    其中f是一个整系数齐次多项式,且满足f(a1,b1)=1,只要找到这个多项式,问题就解决了。

    记mi=bi*a1-ai*b1,则问题就是求整系数齐次多项式使得
    f(m2,m3,……,mn)=1
    ——————
    啊,见鬼,又误入歧途了,如果只有两个数,那f(m2)只要m2不等于1,就肯定是没有解的


    有道理,这样的多项式不是唯一的,比如F满足条件,那么F^2,F^3也满足条件。我第二个例子是手算的,得到一个多项式取值是±1后,再平方即得取值为1的多项式。


    感觉你想法挺好啊,我做一个问题也经常用各种方法做不出,但是每想一个方法就会积累一点经验,后来不知不觉就能做一些了,这大概就是研究数学问题的爽点吧(感觉有点像玩黑魂


    我手算只能给两三个点的例子,给5个点看有没有好心人能给更多点的例子?



    后面几位的解发没看懂,但是一楼那个解矩阵看懂了,不过这样真的是有点无聊了
    编辑:还得证这个式子存在整数解,也是麻烦。。。



    感谢

    我想了一圈也想回到类似的思路了,但感觉最后一步,要有解,还需要A,B互素。只要互素,两项就够了。不互素,多加项也没用。不过怎么证明互素还没想出来。因为F的形式未知,感觉比较麻烦

    ————————
    没爬完楼就回复,又说了多余的话,


    矩阵解形式上还行,但问题是你也不知道能不能解出整数。



    不唯一是很容易看出来的。但是,小于等于n次的多项式是不是唯一的?是不是所有的多项式都可以从一个唯一的最低次多项式通过楼上那位大大的方法构造出来

    又想到点别的,对证明还是没什么用

    假如有多项式f(x,y)满足条件,那f(x,y)*f(y,x)对包括原来的点和它们的两数交换的点,满足要求,而且这是一个对称多项式,于是可以表示成
    (x+y)^n, xy*(x+y)^n,……,xy^n
    组成的一个多项式,a+b,ab,还是互素的。于是代换下变量,就生成了一组对新的数组对(a+b,ab)满足要求的多项式



    改来改去还是不对



    我们来对一下答案吧。我算了一下两个点的情况,发现要用到费马小定理...

    查了一下,IMO 2017 Problem 6

    中等数学杂志 解答
    http://www.xueshu.com/zdsx/201709/30201066.html

    教育部國際數理學科奧林匹亞競賽諮詢會數學工作小組 解答
    http://web.math.sinica.edu.tw/mathmedia/HTMLarticle.jsp?mID=41305

    ,好吧,IMO的话,没做出来也不算亏吧

    我想了一晚上还没搞定。最后的脑洞是,x^i y^(n-i),在n个点的值,构成一个向量,这样就是n+1个n维向量,要线性叠加出一个{1,1,……,1}
    我打算对n维整数向量定义下整除关系,mod关系,看能不能仿照两个数互质时有pa+qb=1,证出一个高维版。

    没搞定。


    直接给出解答是对解题兴趣最大的破坏这就好比看片被别人剧透

    不过这道题目没有唯一解法,发的标准答案也只不过是一种方法而已,而且上面有坛友思路已经很接近这种方法,包括费马小定理,过几天就能自己得出,如果看标准答案只是可惜了一道好题。另外就是坛友提出的新问题:固定点的数目n,找到的齐次多项式的次数能否被n控制?这个答案在那个标答里没有说明。

    坐火车无聊,把两个点的情况写出来了,手机上没有xelatex,就用英文写了,大家看着玩吧。

    即便对于两个点的情况,最低的次数在某些情况下也是|a_1b_2-b_1a_2|。答案给出的lcm(|a_ib_j-b_ia_j|)可能不太容易改进。

    QQ图片20180511132344.png(72.03 KB, 下载次数: 0)

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    2018-5-11 13:24 上传

    看到标题:

    看到题目:

    看了下解答 感觉方法1和之前某楼说的思路已经很像了 倒是方法二有点nb的感觉 很快乐

    想出了个解答。这回应该没问题了吧。

    n个点,互不重复,用n次齐次多项式来完成任务。选择只有n+1个。x^i y^n-i。每一项对n个点各有一个取值,形成一个向量,于是问题变为

    n+1个向量xi,求一组系数ai满足 ai xi=1向量。

    对x的每一个分量,n+1个数互质,最小公倍数为(xi yi)^n,做一个取模的运算,对x的第i个分量对(xi yi)^n取模。

    记x0为所有xi的最小公倍数,y0为所有yi的最小公倍数,于是,向量x取模后完全剩余系个数为(x0 y0)^n。

    对第一个向量xi^n,ai对y0^n取模,a1 x1对(x0 y0)^n取模各个不同。同理向量x^i y^n-i对应的ai对y0^i x0^n-i取模。

    于是,ai的取值,全部乘在一起共有(x0 y0)^n个不同的取值。

    可证对两组不同的满足要求的ai,bi,ai xi和bi xi也不同否则(ai-bi)xi=0,与是最小公倍数相矛盾。

    于是(x0 y0)^n组不同的ai对于(x0 y0)^n个不同的x向量,必有,且仅有唯一的ai满足要求。

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